フーリエ変換を活用してフィルタを設計してみよう #1

本記事は，初学者や趣味向けの記事ですので，厳密性については保証できません．

1. 導入

オーディオや無線，電子工作に少しでも触れたことがある方なら，周波数を見るという発想を避けては通れない場面に何度も出会すものと思います．時間の変化として観測される信号も，周波数という別の側面からとらえることで，構造がよりはっきりと見えてくることがあります．

それを扶けるための基本的な道具がフーリエ変換です．フーリエ変換は時間領域の信号を周波数領域へ写像する変換です．しかし，定義式を眺めるだけでは，操作の内容が直感的に理解しがたいというのも事実です．

本記事では，フーリエ変換の具体的な活用事例として，ディジタルフィルタの設計を交えながら，具体的にどのような操作によって信号を周波数という側面から観測しているのかを整理し，身の回りの多くの場面で用いられている，フィルタの動作について理解を深めることを目的とします．

まずフーリエ変換を理解するための前提として，フーリエ級数展開を理解しておく必要があります．

フーリエ変換とフーリエ級数，似た名前が多くて混乱しそうですが，まずフーリエ級数展開で考えて欲しいのは周期的な信号です．すなわち周期 $T$ を持つ時間信号 $x(t)$ は，時間軸上で同一の波形を繰り返すという性質を持つ信号を考えます．

フーリエ級数展開における主張とは，任意の周期信号は異なる周波数の，三角関数の線型結合で示されるというものです．

ここで用いられる三角関数の周波数は，信号の周期 $T$ によって決まる基本角周波数

\omega_0 = \frac{2\pi}{T}

の整数倍に限定されます（これらは一般に高調波成分と呼ばれます）．

数式で示せば，周期 $T$ を持つ信号 $x(t)$ は次のように級数展開されます．

x(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left[a_n\cos(n\omega_0 t)+b_n\sin(n\omega_0 t)\right]

ここで係数 $a_n$ および $b_n$ はフーリエ係数と呼ばれます．それぞれが掛かっている三角関数の成分の強さを示します．すなわち

・ $a_n$ ：周波数 $nω_0$ のcos波成分

・ $b_n$ ：周波数 $nω_0$ のsin波成分

を表しています．言い換えると，フーリエ係数とは，ある信号の中に特定の周波数成分がどの程度含まれているか，を数値として取り出したものであると言えます．

sinとcosは互いに直交した関数なので，周期 $T$ を区間として積分すると，当然異なる周波数同士の積は0となります．つまり互いに干渉し得ない基底ですから，このような係数が一意に決定されます．

この性質を利用すれば，信号 $x(t)$ の中から，特定の周波数成分だけを抜き出すことができます．具体的には，信号を $\cos(nω_0t)$ や $\sin(nω_0t)$ と掛け合わせて，周期 $T$ で積分することで，対応する係数が計算できます．それぞれの係数について導出してみましょう．

・係数 $a_n$ の導出

先の級数展開式の両辺に， $\cos(m\omega_0 t$ )を掛け，周期 $T$ で積分します（ここで $m$ は任意の正の整数）．

\int_0^T x(t)\cos(m\omega_0 t)\,dt = \int_0^T \left[\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n\cos(n\omega_0 t)+b_n\sin(n\omega_0 t)\right)\right]\cos(m\omega_0 t)\,dt

=\int_0^T \frac{a_0}{2}\cos(m\omega_0 t)\,dt +\sum_{n=1}^{\infty} a_n\int_0^T \cos(n\omega_0 t)\cos(m\omega_0 t)\,dt +\sum_{n=1}^{\infty} b_n\int_0^T \sin(n\omega_0 t)\cos(m\omega_0 t)\,dt

ここで

\int_0^T \cos(m\omega_0 t)dt=0

\int_0^T \sin(n\omega_0 t)\cos(m\omega_0 t)dt=0

であることを踏まえると，最終的に

\int_0^T x(t)\cos(m\omega_0 t)\,dt = a_m\int_0^T \cos^2(m\omega_0 t)\,dt

と整理されます． $\int_0^T \cos^2(m\omega_0 t)\,dt$ において， $\cos^2$ の１周期平均が1/2であることを踏まえると，

\int_0^T \cos^2(m\omega_0 t)\,dt=\frac{T}{2}

となります．したがって

\int_0^T x(t)\cos(m\omega_0 t)\,dt = a_m\frac{T}{2}

a_m=\frac{2}{T}\int_0^T x(t)\cos(m\omega_0 t)\,dt

・係数 $b_n$ の導出

$a_n$ と同様に，今度は $\sin(mω_0t)$ を掛けて積分します．

\int_0^T x(t)\sin(m\omega_0 t)\,dt = \int_0^T \left[\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n\cos(n\omega_0 t)+b_n\sin(n\omega_0 t)\right)\right]\sin(m\omega_0 t)\,dt

また同様に，打ち消し合う成分を除けば

\int_0^T x(t)\sin(m\omega_0 t)\,dt = b_m\int_0^T \sin^2(m\omega_0 t)\,dt

$\int_0^T \sin^2(m\omega_0 t)\,dt=\frac{T}{2}$ であるから，

b_m=\frac{2}{T}\int_0^T x(t)\sin(m\omega_0 t)\,dt

ここで，今まで触れてこなかった係数 $a_0$ について導出してみましょう．

展開式の両編をそのまま周期 $T$ で積分すると，

\int_0^T x(t)\,dt = \int_0^T \left[\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n\cos(n\omega_0 t)+b_n\sin(n\omega_0 t)\right)\right]dt

$\sin$ と $\cos$ の積分は1周期で0となるから，

\int_0^T x(t)\,dt = \int_0^T \frac{a_0}{2}\,dt = \frac{a_0}{2}T

したがって

a_0=\frac{2}{T}\int_0^T x(t)\,dt

となります．これは明らかに信号 $x(t)$ の平均値と対応します．すなわち $x(t)$ における直流成分を示します．

次回は，オイラーの公式を用いた複素フーリエ展開について解説します．